Kaip keičiasi pasaulis: kompiuteriai pakeis žmones net ir matematikoje?

Vis to­bu­lė­jan­tys kom­piu­te­riai pa­tei­kia ma­te­ma­ti­nius įro­dy­mus, ku­rių žmo­nėms prak­tiš­kai ne­įma­no­ma pa­tik­rin­ti. Ar tai reiš­kia, kad ma­te­ma­ti­nę ek­vi­li­bris­ti­ką ver­čiau pa­lik­ti kom­piu­te­riams, o žmo­nėms ge­riau ne­kiš­ti no­sies?

Kompiuteriai gali būti vertingi įrankiai, padedantys matematikams spręsti problemas, bet jie gali suvaidinti ir savo vaidmenį, atrasdami matematines teoremas ir jas įrodydami.

Ko gero, pirmasis kompiuteriu pasiektas rezultatas buvo prieš 40 metų įrodyta keturių spalvų teorema – prielaida, kad bet kokį žemėlapį (laikantis tam tikrų sąlygų) galima nuspalvoti vos keturiomis skirtingomis spalvomis.

Pirmą kartą kompiuteriu ši teorema buvo įrodyta 1976 metais, nors vėliau rasta spragų, ir ištaisytas įrodymas buvo pateiktas tik 1995 metais.

2003 m. Thomasas Halesas iš Pittsburgho universiteto, publikavo kompiuteriniais skaičiavimais paremtą Keplerio konjektūros įrodymą, kad gerai pažįstamas apelsinų išdėliojimo prekybos centruose metodas yra efektyviausias erdvės užpildymo vienodo diametro sferomis būdas.

Nors Halesas įrodymą publikavo 2003 metais, daug matematikų juo nebuvo patenkinti, nes įrodymą lydėjo du gigabaitai kompiuterio išvesties duomenų (tuo laiku tai buvo didelė apimtis), ir kai kurie skaičiavimai negalėjo būti patvirtinti.

Atsakydamas į kritiką, Halesas 2014 metais pateikė kompiuteriu patvirtintą formalų įrodymą.

Naujas žaidėjas

Naujausias šios srities pasiekimas yra šį mėnesį Nature paskelbtas kompiuterinis Pitagoro trejetų problemos įrodymas.

Čia teigiama, kad sveikuosius skaičius nuo 1 iki 7824 galima nuspalvuoti raudonai arba mėlynai tokiu būdu, kad jokie trys skaičiai a, b ir c, tenkinantys sąlygą a2 + b2 = c2 (Pitagoro teorema, kur a, b ir c yra stačiojo trikampio kraštinės) nebūtų tos pačios spalvos. Su sveikaisiais skaičiais nuo 1 iki 7825 to atlikti neįmanoma.

Netgi su nedideliais skaičiais sunku rasti derinius, kad skaičiai būtų nuspalvinti ne vienodai. Pavyzdžiui, jeigu 5 yra raudonas, tada 12 arba 13 turi būti mėlynas, kadangi 52 + 122 = 132; ir 3 arba 4 irgi privalo būti mėlynas, nes 32 + 42 = 52. Kiekvienas pasirinkimas turi daug apribojimų.

Pasirodo, sveikuosius skaičius nuo 1 iki 7825 įmanoma nuspalvinti daugybe būdų – daugiau nei 102300 (vienetas su 2300 nulių). Šis skaičius nepalyginamai didesnis už fundamentaliųjų dalelių skaičių regimojoje visatoje – vos 1085.

Bet tyrėjai, pasinaudodami įvairiomis simetrijomis ir skaičių teorijos savybėmis sugebėjo tikrinimų skaičių sumažinti iki „vos“ vieno trilijono. Kiekvieno iš trilijono atvejų patikrinimui Teksaso universiteto Stampede superkompiuteris, turintis 800 procesorių, užgaišo 2 paras.

Nors šio rezultato tiesioginis pritaikymas menkai tikėtinas, galimybė išspręsti tokias sudėtingas spalvinimo problemas reiškia rimtas pasekmes programavimui ir saugumui.

Teksase atlikti skaičiavimai, kai buvo atlikta maždaug 1019 aritmetinių operacijų, nėra didžiausias matematinis skaičiavimas. 2013 metais mūsų ir dviejų IBM tyrėjų atliktame skaičiaus π² skaičiavime atlikta dvigubai daugiau operacijų.

Didžioji internetinė Merseno pirminių skaičių paieška (GIMPS), pasaulinis kompiuterių tinklas, ieškodamas didžiausių pirminių skaičių, nuolat vykdo 450 trilijonų skaičiavimų per sekundę, taip kas 6 valandas viršydamas Teksaso skaičiavimo operacijų skaičių.

Visgi kompiuterio išvesties aspektu, Teksaso skaičiavimas lieka nepralenktas – 200 terabaitų, tiksliau 2✕1014 baitų, arba po 30 000 baitų kiekvienam Žemės žmogui.

O kaip kas nors gali patikrinti tokį nemenką rezultatą? Laimei, Pitagoro trejetų programa pateikė sprendimą (žr. pav. aukščiau) kurį patikrinti gali daug mažesnė programa.

Tai panašu į labai didelio skaičiaus c faktorizavimą kompiuteriu į du mažesnius dėmenis a ir b taip, kad c = a ✕ b. Surasti a ir b dažnai būna nelengva, bet radus, juos sudauginti ir patikrinti, kad jie atitinka sąlygą – juokų darbas.

Ar matematikų nebereikia?

Tai ką visi šie pasiekimai reiškia? Ar matematikos tyrinėtojai netrukus prisijungs prie šachmatų didmeistrių, Jeopardy čempionų, parduotuvių darbuotojų, taksi vairuotojų, vilkikų vairuotojų, radiologų ir kitų profesijųkurios gresia išnykimas dėl sparčiai besivystančios technologijos?

Ne visai. Matematikai, kaip ir daugelis kitų šakų profesionalų, pasitelkė skaičiavimus kaip naują matematinių tyrimų būdą, eksperimentinę matematiką.

Tad, kas tiksliai yra toji eksperimentinė matematika? Geriausia ją apibūdinti kaip tyrimų metodą, kai kompiuteriai panaudojami kaip „laboratorijos“, taip pat kaip fizikai, chemikai, biologai ar inžinieriai atlieka eksperimentus, tarkime, ieškodami naujų įžvalgų, tikrindami ir paneigdami spėjimus, bei patvirtindami įprastinėmis priemonėmis įrodytus rezultatus.

   

Facebook komentarai